Mathematical structures in quantum information theory: tensors, correlations and state estimation

Abstract

This thesis is devoted to different aspects of quantum information science as well as the closely related topic of multilinear algebra. We present several results in the fields of quantum measurement theory, the theory of bipartite Bell inequalities, the activation of nonlocal quantum correlations, the identification of resourceful multipartite quantum states as well as the characterization of the eigenstructure of highly symmetric real-valued tensors. Gearing towards applications of quantum technology, we develop scalable methods that allow for the simultaneous prediction of many observables of a multi-qubit system. First, we investigate how quantum measurements with many outcomes can be simulated by measurements with fewer outcomes. In particular, we present a minimal scheme that certifies this simulability based on correlations. Further, we analyze this minimal scheme with respect to noise robustness. Afterwards, we pick up the quantum measurement problem and discuss whether the realization of a partially observed measurement is compatible with the universality of the unitary time evolution. Second, we introduce a family of bipartite Bell inequalities and associated quantum correlations that allow for an extremely low detection efficiency as well as high robustness to noise. Further, we discuss how these inequalities can be optimized by means of symmetry considerations. Subsequently, we examine the phenomenon of activation of quantum correlations. We develop methods that allow for rigorous statements on the statistical significance of such an experimental demonstration. These methods include the construction of a suitable confidence polytope as well as an algorithm to determine the correlation class of a quantum state. Third, we present an algorithm that allows for finding maximally resourceful multipartite quantum states. We provide a rigorous proof of convergence and apply it to multiple quantifiers of quantum resources, e.g., the geometric measure of entanglement. This reveals an interesting connection to so-called absolutely maximally entangled states. Then, we discuss the eigenstructure of certain highly symmetric tensors, whose construction is based on simplex frames. We provide a full characterization of the eigenvectors for an arbitrary number of parties and local dimension two. Further, we discuss whether the eigenvectors can be obtained by the power iteration method. The last part of this thesis is concerned with scalable methods that allow for simultaneously predicting many expectation values of a multi-qubit system with high accuracy. For this purpose, we extend the technique of classical shadows, originally based on projective measurements, to generalized measurements. This yields a simple formulation, allowing for the incorporation of symmetries and the possibility of optimizing the measurement directions towards a set of targeted observables. Moreover, we combine classical shadows with error mitigation techniques, rendering the incorporation of preparation errors in the estimation of many expectation values possible.

In dieser Dissertation werden verschiedene Fragestellungen aus den Bereichen der Quanteninformationstheorie und dem damit verknüpften Gebiet der multilinearen Algebra untersucht. Es wird eine Vielzahl von Resultaten auf den Gebieten der quantenmechanischen Messtheorie, der bipartiten Bellschen Ungleichungen und deren Detektionseffizienz, der Aktivierung von quantenmechanischen Korrelationen, der Charak\-terisierung von Verschränkung multipartiter Systeme, als auch der Eigenstruktur von sogenannten supersymmetrischen reellen Tensoren erbracht. Ferner werden skalierbare Methoden zur Berechnung von Erwartungswerten von Observablen diskutiert und deren Relevanz für Quantencomputer erörtert. Im ersten Abschnitt dieser Arbeit wird untersucht, inwiefern sich quantenmechanische Messungen mit vielen Messausgängen vermöge Messungen mit weniger Ausgängen simulieren lassen. Dabei stellt sich insbesondere die Frage, wie sich diese Simulierbarkeit auf Grundlage experimenteller Daten zertifizieren lässt. Wir präsentieren ein minimales Szenario für diese Zertifizierung und diskutieren die Robust\-heit bezüglich experimenteller Fehler. Im Anschluss greifen wir das Messproblem der Quantenmechanik auf und diskutieren, inwiefern die Realisierung einer nur partiell beobachteten Messung kompatibel mit der unitären Zeitentwicklung der Quantenmechanik ist. Im zweiten Abschnitt präsentieren wir eine Familie von bipartiten bellschen Ungleichungen und dazugehörigen Quantenkorrelationen, welche eine hohe Toleranz gegenüber ineffizienten Detektoren und experimentellem Rauschen besitzt. Ferner wird diskutiert, wie die erhaltenen bellschen Ungleichungen auf Grundlage von Symmetriebetrachtungen weiter optimiert werden können. Im Anschluss betrachten wir das Phänomen der Aktivierung von Quantenkorrelationen. In diesem Kontext werden Methoden entwickelt, welche einen experimentellen Nachweis mit hoher statistischer Sicherheit ermöglichen. Diese umfassen die Konstruktion von einem neuartigen Konfidenz-Polytop als auch einem Algorithmus, der die Korrelationsklasse eines Quantenzustands bestimmen kann. Im dritten Abschnitt widmen wir uns dem Auffinden von multipartiten Zuständen, welche für gewisse Zwecke und Protokolle besonders hilfreich sind. Dazu entwickeln wir einen Algorithmus, präsentieren einen entsprechenden Konvergenzbeweis und illustrieren die Flexibilität durch eine Vielzahl von Anwendungen. Als Beispiel diskutieren wir im Detail das geometrische Maß der Verschränkung und beobachten eine Verbindung zu sogenannten absolut-maximal verschränkten Zuständen. Im Anschluss untersuchen wir die Eigenstruktur von reellen Tensoren, welche ausgehend von einem Simplex-Frame konstruiert wurden. Hier liefern wir eine vollständige Klassifizierung der Eigenstruktur für beliebige Modenzahlen und lokale Dimension zwei. Zusätzlich erörtern wir, inwiefern die gefunden Eigenwerte mittels der Potenzmethode berechnet werden können. Ein weiterer großer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit skalierbaren Methoden zur Bestimmung von Erwartungswerten von Observablen großer Quantensysteme. Dazu erweitern wir das Konzept der auf projektiven Messungen basierenden klassischen Schatten auf verallgemeinerte Messungen. Dies liefert eine einfachere Formulierung, erlaubt die Einbeziehung von Symmetrien, als auch die Optimierung der Messrichtungen. Außerdem kombinieren wir klassische Schatten mit Techniken der Fehlerminimierung. Diese Kombination erlaubt es mithilfe klassischer Computer den Effekt experimenteller Ungenauigkeiten auf Erwartungswerte von Observablen zu minimieren und somit den Bereich der Anwendbarkeit von Quantencomputern zu erweitern.