Oversmoothing Tikhonov regularization for ill-posed inverse problems

Abstract

Inverse problems arise when causes cannot be measured directly but must be concluded from observed effects. The inaccuracies arising from measurements of the effects can lead to significant deviations in determining the causes due to the typically inherent ill-posedness in inverse problems. Regularization methods overcome this ill-posedness by finding an approximation of the solution that is stable with respect to the measured data. The regularization parameter should be chosen optimally to achieve a balance between stability and approximation, minimizing the deviation of the regularized solution from the actual solution. This thesis examines Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed inverse problems. The considered Tikhonov functional has an oversmoothing penalty term, such that minimization of the Tikhonov functional determines regularized solutions that are, in a certain sense, smoother than the actual solution of the inverse problem. Research on oversmoothing Tikhonov regularization has rapidly advanced, focusing on convergence rates under various conditions. Extensions to nonlinear operator equations and exploration of different source conditions and parameter choice strategies have enriched this field. This work contributes by generalizing results to a mixed source condition and providing convergence rates for a priori strategies and for the discrepancy principle as methods to select the regularization parameter. Another focus is on oversmoothing Tikhonov regularization in the finite-dimensional setting, where discretization is achieved through projection methods. This is an area that has yet to be thoroughly explored in this context.

Inverse Probleme entstehen, wenn Ursachen nicht direkt gemessen werden können, sondern aus beobachteten Effekten geschlossen werden. Die bei der Messung der Effekte auftretenden Ungenauigkeiten können aufgrund der üblicherweise inhärenten Schlechtgestelltheit bei inversen Problemen zu erheblichen Abweichungen in den zu ermittelnden Ursachen führen. Regularisierungsmethoden überwinden diese Schlechtgestelltheit, indem sie eine Approximation der Lösung ermitteln, welche stabil von den gemessenen Daten abhängt. Der Regularisierungsparameter ist optimal zu wählen, sodass ein Kompromiss zwischen Stabilität und Approximation entsteht und dadurch die Abweichung der regularisierten zu der tatsächlichen Lösung minimal gehalten wird. Diese Arbeit untersucht die Tikhonov-Regularisierung zur Lösung nichtlinearer schlechtgestellter inverser Probleme. Das betrachtete Tikhonov-Funktional enthält einen überglättenden Strafterm, sodass die Minimierung des Funktionals regularisierte Lösungen bestimmt, die in gewissem Sinne glatter sind als die tatsächliche Lösung des inversen Problems. Die Forschung zur überglättenden Tikhonov-Regularisierung hat sich fortlaufend entwickelt und setzt den Fokus insbesondere auf Konvergenzraten unter verschiedenen Bedingungen. Erweiterungen auf nichtlineare Operatorgleichungen sowie die Erforschung verschiedener Quellbedingungen und Parameterwahlstrategien haben dieses Feld bereichert. Diese Arbeit trägt dazu bei, indem sie Ergebnisse auf eine gemischte Quellbedingung verallgemeinert und Konvergenzraten für a priori Strategien und das Diskrepanzprinzip als Methoden zur Auswahl des Regularisierungsparameters liefert. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der überglättenden Tikhonov-Regularisierung im Rahmen endlichdimensionaler Räume, wobei die Diskretisierung durch Projektionsverfahren erfolgt. Dieser in diesem Zusammenhang noch nicht eingehend erforschte Bereich eröffnet neue Forschungsmöglichkeiten.