Multivariate stochastische Integrale mit Anwendung am Beispiel Operator-stabiler und Operator-selbstähnlicher Zufallsfelder

Abstract

Der Inhalt dieser Arbeit kann grundsätzlich in zwei Teile gegliedert werden. So betrachten wir einerseits multivariate Zufallsfelder der Form {X(t) : t ist Element aus R^d}, wobei X(t) für jedes t aus R^d ein R^m-wertiger Zufallsvektor ist, und untersuchen dann die Existenz solcher Felder, die Operator-selbstähnlich im Sinne von [29] sind und darüber hinaus echt Operator- stabile Randverteilungen besitzen. Dies geschieht anhand einer harmonischen sowie einer moving-average Integraldarstellung, jeweils bezüglich geeigneter independently scattered random measures (kurz: Zufallsmaße) und verallgemeinert somit die entsprechenden Beiträge von [40], [5] beziehungsweise [29], wobei der Aspekt der Operator-Stabilität in diesem Zusammenhang neuartig ist und für den Umgang mit multivariaten Fragestellungen als natürlichere Verteilungseigenschaft angesehen werden kann. Des Weiteren werden wir für beide Darstellungen noch zusätzliche Eigenschaften herausarbeiten können, ins- besondere erlaubt die harmonische Darstellung für einen Spezialfall die Konstruktion stetiger Modifikation und bildet somit einen von vielen Ausgangspunkten für nachfolgen- de Untersuchungen. Andererseits bedingt die gewünschte Operator-Stabilität der Randverteilungen, dass bereits die verwendeten Zufallsmaße diese Eigenschaft besitzen. Und auch die resultierenden stochastischen Integrale, die zur Konstruktion dieser Felder herangezogen werden, müssen entsprechend verstanden werden. Diesem Umstand wird auf besondere Weise Rechnung getragen, indem wir die sehr allgemeinen, aber univariaten Ergebnisse in [35] vereinheitlichen, um die komplexwertige Betrachtungsweise wie in [40] erweitern und schließlich mit Hilfe vektorieller Maße auf den multivariaten Fall übertragen. Zugleich können wir zeigen, dass die Atomfreiheit der betrachteten Zufallsmaße auch stets ihre unendliche Teilbarkeit impliziert. Dabei erfahren diese Ergebnisse durch ihre Allgemeinheit einen ei- genständigen Wert und könnten auch hier die Beantwortung zukünftiger Fragestellungen zur Modellierung komplexer, zufälliger Phänomene erlauben. Zusätzlich geben wir eine mögliche Definition für den Anziehungsbereich multivariater Zufallsfelder an, die zwar zum einen sehr breit ausfällt, zum anderen aber dennoch eine elegante Charakterisierung der Operator-Selbstähnlichkeit eines gegebenen Zufallsfelds erlaubt und dabei das entsprechende univariate Resultat in [17] umfasst. Trotz aller Flexibilität zieht sich der Umgang mit linearen Operatoren und verallgemeinerten Polarkoordinaten (man vergleiche [5]) auf der deterministischen Seite wie ein roter Faden durch die vorliegende Arbeit, was die Angabe von anschaulichen und praktikablen Beispielen ermöglichen wird.

Roughly speaking, the content of this thesis can be divided into two parts. On the one hand, we will deal with multivariate random fields in form of {X(t) : t is element of R^d}, where X(t) is an R^m-valued random vector for each t of R^d, and then we will investigate the existence of such fields which are operator-self-similar in the sense of [29] and whose margins, at the same time, have a real operator-stable distribution. This will be done in terms of a harmonizable and a moving-average integral representation with respect to an appropriate independently scattered random measure, respectively. Hence, we actually extend the results in [40], [5] and [29], whereas the aspect of operator-stability is mentionable and seems to be more natural in the context of multivariate questions. Additionally, we will be able to present some further properties. In particular, a special case of the harmonizable representation permits us to construct continuous modifications and can therefore - among other examples - be regarded as a source for subsequent researches. On the other hand, we have to ensure that the applied random measures already provide the property of operator-stability which is intended for the resulting margin distributions of the random field. So we have to cope with the challenges that occur concerning the related stochastic integrals as this will be the method for constructing these random fields. This problem will be solved in a very comprehensive way by unifying and extending the results in [35] for the univariate case towards the multivariate one via vector valued measures and even by adding a complex-valued perception as proposed in [40]. In this context we will also be able to show that these random measures always have to be infinitely divisible as long as they are atomless. In view of their universality our results appear rather self-contained and could also serve as a useful tool for extensive modeling problems in the future. Furthermore, we state a potential definition for the domain of attraction of multivariate random fields which looks quite general, but which still allows a nice characterization for the operator-self-similarity (of a given random field) by extending the corresponding univariate result in [17]. In spite of the mentioned flexibility it will turn out that the consideration of linear operators and generalized polar coordinates (see [5]) is some kind of central theme throughout the whole thesis which finally leads to interesting and practicable examples.