Consistent FE-analysis of elliptic variational inequalities

Abstract

Economical mesh structures are of great interest when simulating physical processes using the Finite Elemente Method. They are essential for a fast calculation producing results of high accuracy. In case of restricted problems, many a posteriori estimators which are the indicators for adaptive refinement turn out to be inconsistent in areas where the restriction takes place. The effort of the subject matter is to develop a method to overcome this problem by introducing saddle point formulations and using the Lagrangian multiplier to balance gaps in the error estimations. When dealing with sattle point problems there may arise the problem of unstable systems due to an injured inf-sup-condition, especially in the discrete case. We solve this problem using the Galerkin least squares method. In consequence we get additional terms which also have to be taken into account when developing the a posteriori estimators. To examine the general validity of this method we analyse problems of different type. That means linear and nonlinear problems with linear or nonlinear restrictions in the primal or dual variable, respectively. In all cases, the resulting adaptive mesh structures turn out out to be very efficient since they outline critical zones of the underlying problems which is confirmed by numerical tests.

In der Simulation von Fertigungsprozessen mit Hilfe der Finite Elemente Technik sind ökonomische Gitterstrukturen von großem Interesse da sie für eine schnelle Berechnung bei gleichzeitiger hoher Genauigkeit unverzichtbar sind. Bei der Behandlung von restringierten Problemen tritt allerdings häufig das Problem auf, dass die Fehlerschätzer, die als Indikatoren für eine adaptive Gitterstruktur dienen, in den restringierten Bereichen inkonsistent sind, was zu ineffizienten Verfeinerungen führt. Für die Optimierung der Fehlerschätzer führen wir in dieser Arbeit Sattelpunktformulierungen ein um mit Hilfe des Lagrangeparameters die entstehenden Inkonsistenzen auszugleichen. Bei der Verwendung von gemischten System kann hier das Problem der Instabilität durch eine verletzte inf-sup Bedingung auftreten, das wir durch die Verwendung des Galerkin least squares Ansatzes beheben. Hieraus resultieren allerdings zusätzliche Terme in der Problemformulierung, die bei der Entwicklung der a posteriori Schätzer ebenfalls berücksichtigt werden müssen. Um die allgemeine Gültigkeit unserer Methode zu untersuchen, analysieren wir Probleme mit unterschiedlichen Eigenschaften, das heißt lineare und nichtlineare Gleichungen mit linearen bzw. nichtlinearen Restriktionen in der primalen oder dualen Variable. In numerischen Tests stellt sich heraus, dass wir in allen Fällen effiziente Gitterstrukturen erzielen, die die kritischen Zonen der jeweiligen Probleme durch hohe Verfeinerung herausarbeiten.